CIRCUITOS RC, RL Y RLC

Una herramienta importante de trabajo en electrónica es el Análisis de Circuitos, que consiste básicamente en tener información sobre cuantas fuentes de energía y de que clase, cuantos elementos de circuito y como están conectados en un circuito partícular, se aplican las leyes de Kirchhoff, la ley de Ohm, las relaciones voltaje corriente del condensador y la bobina y los ciruitos equivalentes para encontrar las magnitudes de los voltajes y corrientes dentro del circuito y saber como varían en el tiempo.

En el caso de CIRCUITOS RESISTIVOS (circuitos con fuentes y solo resistencias) aparecen ecuaciones de tipo algebraico, en el caso de CIRCUITOS RC (fuentes, resistencias y condensadores), CIRCUITOS RL (fuentes, resistencias y bobinas) y CIRCUITOS RLC (fuentes, resistencias, bobinas y condensadores) aparecen ecuaciones diferenciales; en ambos casos se aplican herramientas matemáticas para solucionar las ecuaciones y resolver las incognitas.

Para circuitos complejos se han desarrollado métodos que buscan obtener respuestas más rápidamente, que por el momento no se tendran en el material de este curso pero se pueden consultar en libros de Análisis de Circuitos. Esos métodos son: análisis de mallas, análisis de nodos, equivalente Thevenin, equivalente Nortón, superposición.

CIRCUITOS RESISTIVOS

Se muestran unos ejemplos de solución de circuitos resistivos para demostrar la aplicación de las leyes y conceptos mencionados.

EJEMPLO 1

Encontrar la corriente que entrega la fuente a las resistencias

Este es un caso de circuitos equivalentes, si se encuentra una reistencia equivalente de las tres la corriente que consume la resistencia equivalente es la misma que consumen las tres resistencias.

Equivalente de R2 y R3:

          

La resistencia equivalente RP está en serie con R1 entonces: Req = R1 + RP = 1K + 1.2K = 2.2K

El ciruito resultante es:

donde aplicando la ley de Ohm, nos da: I = 10V / 2.2K = 4.54 mA.

EJEMPLO 2

Encontrar los voltajes en las dos resistencias del circuito mostrado.

Este es un caso de aplicación de la Ley de Voltajes de Kirchhoff

+ V1 – Vr1 – V2 – Vr2 = 0

Como todos los elementos están en serie la corrientes I es la misma en todos los elementos, aplicamos la Ley de Ohm para las dos resistencias, entonces:

Vr1 = R1 * I Vr2 = R2 * I

remplazando estas dos expresiones en la ecuación inicial, se tiene:

+ V1 – (R1 * I) – V2 – (R2 * I) = 0

donde hay una incognita que es I, resolviendo la ecuación:

I = (V1 – V2) / ( R1 + R2 ) = ( 10V – 4V ) / ( 2K + 10K ) = 0.5 mA.

Se tienen los datos necesarios para hallar los voltajes:

Vr1 = R1 * I = 2K * 0.5 mA = 1V Vr2 = R2 * I = 12K * 0.5 mA = 5V

EJEMPLO 3

Encontrar las corrientes en las resistencias y el voltaje en el circuito.

Este caso permite aplicar la Ley de Corrientes de Kirchhoff, por ejemplo en el nodo superior:

I = I1 + I2 = 1 mA

Como los tres elementos están en paralelo el voltaje en el circuito es el mismo para todos: V

Vr1 = Vr2 R1 * I1 = R2 * I2

 

de donde: I2 = (I1 * R1) / R2

reemplazando en la primera expresión: I1 + [(I1 * R1) / R2] = I

donde hay una incognita, despejando: I1 = I / (1+ (R1/R2)) = 1 mA / (1+ (220K / 100K)) = 0.3125 mA

con esas información se calculan los otros datos:

I2 = I – I1 = 1 mA – 0.3125 mA = 0,6875 mA

V = R1 * I1 = 220 K * 0.3125 mA = 68.75 V

 

 

DIVISOR DE VOLTAJE

La aplicación de la Ley de Voltajes de Kirchhoff y la Ley de Ohm a un circuito de resistencias en serie, permite obtener una nueva herramienta de análisis llamada el DIVISOR DE VOLTAJE, que nos indica que el voltaje total VT aplicado a la serie de resistencias es dividido en voltajes parciales, uno por cada resistencia, y el voltaje en cada resistencia VI es proporcional a la magnitud de la resistencia correspondiente RI.

 

 

 

 

EJEMPLO 4

Calcular el voltaje V3

 

 

 

 

DIVISOR DE CORRIENTE

Un divisor de corriente se presenta cuando hay dos o más resistencias en paralelo, la corriente total IT que llega al circuito se divide en tantas corrientes como resistencias o circuitos hay en paralelo. En este caso la corriente que pasa por cada resistencia es inversamente proporcional a la resistencia de esa rama, es decir, a más resistencia en la rama menor corriente y lo contrario.

la corriente en la resistencia i es:

Donde G1 = 1/R1; G2 = 1/ R2; …. Gi = 1/ Ri
(En general G = 1/R se llama la conductancia del elemento y se mide en Siemens)
Para el caso de dos resistencias se puede usar las siguientes expresiones:

            

EJEMPLO 5

Hallar las corrientes I1 e I2 en el circuito

El resultado muestra que a mayor resistencia menos corriente.

 

CIRCUITO RC

Los anteriores ejemplos muestran que para circuitos resistivos las soluciones son ecuaciones algebraicas, en los circuitos RC, RL y RLC la aplicación de las leyes de Ohm y Kirchhoff generan ecuaciones diferenciales, la solución de un circuito de estos tipos es entonces un proceso de solución de ecuaciones diferenciales, donde cada caso particular está determinado por las condiciones iniciales.

EJEMPLO 6

Encontrar la función de voltaje en el condensador como función del tiempo para el circuito:

       u(t) es la función escalón cuyo valor es:

0 si t<0
1 si t>=0

 

 

Aplicando la ley de Voltajes de Kirchhoff se tiene: 5·u(t) – VR – VC = 0

Aplicando ley de Ohm: 5·u(t) – IR·R – VC = 0

Como los elementos están en serie la corriente IR de la resistencia es la misma del condensador IC, entonces:

5·u(t) – IC·R – VC = 0

Aplicando la relación voltaje corriente en el condensador, queda:

Que es una ecuación lineal diferencial de primer orden para el voltaje en el condensador, la herramienta de solución más usada es por Transformada de Laplace, permite trabajar con casos sencillos y complejos, también cuando se tienen sistemas de ecuaciones diferenciales.
Este ejemplo es a manera de información por lo que no haremos el detalle de la solución, la respuesta es:

donde t se llama la constante de tiempo del circuito y corresponde al producto t = R · C

Este ejemplo muestra el procedimiento general que se debe aplicar para resolver los tipos de circuitos mencionados. Para algunos casos específicos de circuitos se pueden aplicar soluciones prácticas que permiten obtener una respuesta más rápida, a continuación damos un método para resolver circuitos RC y RL.

MÉTODO PRÁCTICO PARA LA SOLUCIÓN DE CIRUITOS RC Y RL SENCILLOS

En general los circuitos RC y RL responden a un comportamiento exponencial creciente o decrecciente similar al que se indicó como solución de la ecuación diferencial.
Toda variable v(t) que cambie exponencialmente en el tiempo tiene la siguiente ecuación:

donde vi es el valor inicial de v(t) en t = 0, vf es el valor “final”, que se considera el valor de v(t) cuando ha transcurrido un tiempo relativamente largo que en la práctica es un tiempo t mayor que 5 veces .
Se aclara que en la expresión v significa variable y no se esta restringiendo solo a voltajes, puede ser voltaje, corriente, potencia, fuerza, etc.

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